6*9的方格中有多少种排法？常见的排列组合问题|最新快讯

1.在6*9的方格中，以左上角为起点，右下角为终点，每次只能向下或向右走，请问一共有多少种不同的走法。

一共要走13步，其中必然有5步向下，8步向右。那么就是从13步中选5步向下或者从13步中选出8步向右，则共有种。

(资料图片)

2.ABCDEFG七人战队，要求A必须在B的左边，但不一定相邻，请问有多少种排法？如果A必须在B的左边，并且一定要相邻，请问一共有多少种排法？

不相邻：

7人全排列一共有7！中排法，其中A在B的左边占一半，A在B的右边占一半，那么A在B的左边共有7！/2种排法

相邻：

把AB看做一个人，那么就相当于6个人做全排列，那么共有6！种排法

3，6个人排成一排，要求甲与乙不相邻，并且甲与丙不相邻的排法有多少种？

方法一：6人全排列为6！。甲乙相邻，甲与乙看出一个人有5！种，但是甲乙，乙甲为不同的排列，则为2*5！种。同理甲丙相邻为2*5！种。但是甲乙相邻与甲丙相邻有重合的部分为乙甲丙或者丙甲乙。乙甲丙时为4！种，丙甲乙为4！种。所以最终的排列数为：6！-2*5！-2*5！+4！+4！=288种

方法二：当甲在左侧开头位置时，甲的相邻位置有3种选择，剩下的人是4！种，则有3*4！=72种。同理甲在右侧末尾位置时也有72种。当甲不在开头和末尾时，甲有4种选择，当甲在其中一个位置时，左右邻居是从3个选择2个，剩下的位置3！，那么有4**3！=144种。那么最终的排列数为72+72+144=288种

4,10颗相同的糖果，分给3个人，每人至少有一颗，那么有多少种分法？

10颗糖果中间位置有9个，分给3个人，每人都要有，那么该问题就变成了在9个中间位置中选出2个进行插板。=36种

5,10个不同的球放入3个不同的桶中有多少种方法？

每个球有3种选择，共有3^10种方法

6，有10颗糖果，如果每天至少吃一颗，吃完为止，问有多少种不同的吃法

1天吃完    1种

2天吃完     9个空隙，1个隔板种

……

10天吃完   9个空隙，9个隔板

那么总共有种

7，假设有n对左右括号，请求出合法的排列有多少个？

左括号数n，右括号数n，总排列数为。每一个不合法的排列通过（左括号为1，右括号为-1，当-1的数量比1的数量第一次多时将该位置以前的1，-1互换，后面的不变换）以上变换能够得到n+1个1，n-1个-1，那么非法排列数为：，那么合法的排列数为（卡特兰数的重要公式之一）

（n个数进出栈的顺序有多少种？/ 2n个人排队买票，n个人拿5块钱，n个人拿10块钱，票价是5块钱1张，每人买1张票，售票员手里没零钱，问有多少种方法让售票员可以顺利卖票。/ 12个高矮不同的人排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排人高，问有多少张排列方式。   都是上面案例一样的解法）

8，求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构？

假设n个无差别的节点构成不同的结构数为f(n).

f(0)表示空树，结构数为1

以节点1为头结点，左孩子为空结构数f(0),右孩子有n-1个点结构数f(n-1)，总的结构数f(0)*f(n-1)

以节点2为头结点，左孩子为1个节点结构数f(1),右孩子有n-2个点结构数f(n-2)，总的结构数f(1)*f(n-2)

以节点3为头结点，左孩子为2个节点结构数f(2),右孩子有n-3个点结构数f(n-3)，总的结构数f(2)*f(n-3)

…………

以节点n为头结点，左孩子为n-1个节点结构数f(n-1),右孩子有n-3个点结构数f(0)，总的结构数f(n-1)*f(0)

则总的结构数为：

f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+……+f(n-1)*f(0)=(卡特兰数的重要公式2）

9，n个信封有n封信，现在把信拿出来再装回去，要求每封信不能装回它原来的信封，问有多少种装法？

n封信按照题目要求的装法即为f(n)

假设第n封信放入了第i个信封，情况一：第i封信放入了第n个信封，那么后续为f(n-2);情况二：第i封信没有放入第n个信封，那么后续为f(n-1)

n个信封放入i个信封，i的选择有n-1种，所以总数为f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

采用倒推的方法求得，f(1)=0,f(2)=1